Day3 - 좌표평면, 그래프, 기울기

좌표평면의 기본

(1) 축과 원점

• x축: 가로 방향(왼쪽↔오른쪽)
• y축: 세로 방향(아래↔위)
• 원점: ((0,0))

 

(2) 점의 표기

(x, y)

• 첫 번째 값 = x(가로 위치)
• 두 번째 값 = y(세로 위치)

예시:

• (2,3): 오른쪽 2, 위로 3
• (-1,4): 왼쪽 1, 위로 4
• (3,-2): 오른쪽 3, 아래로 2

 

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“식”이 그래프가 되는 원리

핵심 문장

그래프는 “식이 만들어내는 점들의 모임”이다.

예를 들어

y = 2x + 1

은 “x를 넣으면 y가 정해진다”는 뜻이고,
그 결과로 생기는 (x,y) 점들을 좌표평면에 찍으면 그래프가 됩니다.

 

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그래프 그리는 기본 절차 (함수식 → 점 → 선)

예시: (y = 2x + 1)

① x에 값을 대입해서 y를 구한다

y = 2x + 1

0	1
1	3
2	5

② 좌표로 바꾼다

• ((0,1))
• ((1,3))
• ((2,5))

③ 점을 찍고 직선으로 연결한다

→ 직선 그래프가 된다.

 

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일차함수 (y=ax+b)의 의미

y = ax + b

• (a): 기울기
• (b): y절편(x=0일 때 y값)

y절편 확인

x=0 넣으면

y=b

즉, 그래프가 y축과 만나는 값이 b

y = 2x + 1 -> b=1

→ 그래프는 (0,1)을 지나간다.

 

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기울기(slope)의 의미

(1) 기울기의 “말” 정의

x가 1만큼 변할 때 y가 얼마나 변하는가

(2) 기울기의 공식 정의

m = Δy / Δx

• (Δx): x의 변화량
• (Δy): y의 변화량

변화량(델타)의 뜻

Δy = y_{나중} - y_{처음}

Δx = x_{나중} - x_{처음}

 

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두 점이 주어졌을 때 기울기 구하기 (핵심 유형)

두 점 (x_1,y_1), (x_2,y_2)가 주어지면

m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)

 

예시

점 (1,2)와 (3,6)

m = (6 - 2) / (3 - 1) = (4 / 2) = 2

 

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기울기 부호가 의미하는 것

(1) (m>0) (양수 기울기)

• 오른쪽으로 갈수록 올라감
• x 증가 → y 증가

(2) (m<0) (음수 기울기)

• 오른쪽으로 갈수록 내려감
• x 증가 → y 감소

(3) (m=0) (기울기 0)

• 수평선
• y가 변하지 않음

y = c

 

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“기울기 = 변화율” 문제 유형

기울기가 4라는 의미:

m = 4 = (Δy) / (Δx)

즉,

• x가 1 증가하면 y는 4 증가
• x가 2 증가하면 y는 8 증가

Δy = 4Δx

 

시험 포인트:

• 이런 유형은 함수식 몰라도 비례로 바로 푼다
  • “x가 3 늘면 y는?” → (4 x 3 = 12)

 

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Day 3가 미분으로 이어지는 이유(핵심 연결)

• 직선은 기울기가 항상 일정
• 곡선은 위치마다 기울기가 달라짐

그래서 곡선에서는 “그 점에서의 기울기(순간기울기)”가 필요하고,
그게 미분으로 연결됩니다.

 

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Day 3 한 줄 요약

• 좌표: (x,y)
• 그래프: 점들의 모임
• 기울기: Δy / Δx
• 일차함수: (y=ax+b), 기울기 (a), y절편 (b)