Day 4 — 평균기울기에서 순간기울기까지

Day 3에서 우리는 “직선의 기울기”를 배웠습니다.
Day 4의 핵심은 이겁니다:

 

곡선에서는 기울기가 일정하지 않다.
그래서 “그 점에서의 기울기”가 필요하다.

 

이게 바로 미분의 시작입니다.

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1. 직선 vs 곡선

직선 예시

y = 2x + 1

• x가 1 증가하면 y는 항상 2 증가
• 어디에서 보든 기울기 = 2

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곡선 예시

y = x^2

값을 넣어보면:

x = 0 → y = 0
x = 1 → y = 1
x = 2 → y = 4
x = 3 → y = 9

기울기를 구해보면:

0 → 1 사이 기울기 = 1
1 → 2 사이 기울기 = 3
2 → 3 사이 기울기 = 5

→ 점점 가파라짐
→ 기울기가 일정하지 않음

 

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2. 평균기울기

두 점 사이의 기울기 공식:

평균기울기 = (y2 - y1) / (x2 - x1)

예: y = x^2 에서

x = 1 → y = 1
x = 2 → y = 4

평균기울기 = (4 - 1) / (2 - 1) = 3

이건 “두 점 사이”의 기울기입니다.

 

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3. 순간기울기 아이디어

이제 질문:

x = 1에서의 기울기를 정확히 알고 싶다면?

→ 1에서 아주 가까운 점과 비교하면 된다.

예:

1 → 1.1
1 → 1.01
1 → 1.001

점점 더 가까운 점과 비교하면
평균기울기가 일정한 값에 가까워집니다.

그 값이 바로 “그 점에서의 기울기”입니다.

 

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4. h를 이용한 표현

우리는 “아주 작은 변화”를 h라고 둡니다.

x에서 h만큼 이동하면:

새로운 x = x + h

함수값 차이:

f(x + h) - f(x)

평균기울기:

( f(x + h) - f(x) ) / h

이때 h를 0에 가깝게 보내면
순간기울기가 됩니다.

중요:

h = 0을 대입하는 게 아니라
h를 0에 가까워지게 하는 것

 

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5. 실제 계산 예시 (y = x^2)

1. f(x) = x^2
2. f(x + h) = (x + h)^2
3. 전개 = x^2 + 2xh + h^2

변화량:

f(x + h) - f(x)
= x^2 + 2xh + h^2 - x^2
= 2xh + h^2

평균기울기:

(2xh + h^2) / h
= 2x + h

이제 h를 0에 가깝게 보내면:

→ 2x

결론:

x^2을 미분하면 2x

 

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6. 핵심 정리

• 평균기울기 → 두 점 사이
• 순간기울기 → 한 점에서의 기울기
• h는 아주 작은 변화량
• h를 0에 “대입”하는 게 아님
• 결과적으로

d/dx (x^2) = 2x

 

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7. 그래프 의미

y = x^2 에서

기울기 = 2x

x < 0 → 기울기 음수 → 감소
x = 0 → 기울기 0 → 평평
x > 0 → 기울기 양수 → 증가

이게 Day 6의 극값으로 연결됩니다.

 

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Day 4 한 줄 요약

미분 = 평균기울기를 극한까지 줄인 것