Day 6 — 미분의 활용

Day 6 = 미분을 “쓰는” 단계입니다.
오늘은 핵심 3개만 정리합니다:

1. 접선
2. 증가·감소
3. 극대·극소

계산은 이미 잘합니다. 이제 해석입니다.

 

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1. 접선의 방정식

핵심 구조

1. 미분해서 기울기 구한다
2. 그 점의 좌표를 구한다
3. 점-기울기 공식 사용

점-기울기 공식:

y - y1 = m(x - x1)

 

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예시

f(x) = x^2 + 3x
x = 1에서 접선

 

1. 미분

f'(x) = 2x + 3

 

2. 기울기

f'(1) = 5

 

3. 점 좌표

f(1) = 4
→ (1, 4)

 

4. 접선

y - 4 = 5(x - 1)

 

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2. 증가·감소 판별

원칙

f'(x) > 0 → 증가
f'(x) < 0 → 감소

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예시

f(x) = x^3 - 3x

f'(x) = 3x^2 - 3
= 3(x^2 - 1)

임계점: x = -1, 1

부호표:

x < -1 → 증가
-1 < x < 1 → 감소
x > 1 → 증가

 

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3. 극대·극소

판단법

증가 → 감소 = 극대
감소 → 증가 = 극소

 

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예시 정리

x = -1 → 증가→감소 → 극대
x = 1 → 감소→증가 → 극소

 

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오늘 가장 중요한 연결

기울기 0 → 극값 후보
하지만 반드시 부호 변화를 확인해야 함

 

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적용 문제

f(x) = x^2 - 6x + 5

1. 증가 구간
2. 감소 구간
3. 극값의 좌표

과정까지 써보세요.

1) 미분, 임계점

• f(x) = x^2 - 6x + 5
• f'(x) = 2x - 6 
• 2x - 6 = 0 → x = 3 

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2) 증가/감소 구간

• x < 3 → 2x - 6 < 0 → 감소 
• x > 3 → 2x - 6 > 0 → 증가 
• 감소 → 증가 → x=3에서 극소 

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3) 극값 좌표

f(3) = 3^2 - 6·3 + 5
= 9 - 18 + 5
= -4

따라서 극소점(극값 좌표)은

(3, -4)

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최종 정답 정리

1. 증가 구간: (3, ∞)
2. 감소 구간: (-∞, 3)
3. 극값(극소) 좌표: (3, -4)